Immaginate di essere un architetto che non può disegnare nulla che non abbia prima dimostrato essere fisicamente realizzabile. Non potete abbozzare una "casa volante" sperando che poi qualcuno trovi il modo di farla stare su. Per gli antichi Greci, la matematica funzionava esattamente così. L'uso esclusivo di riga e compasso, che spesso ci viene insegnato a scuola come una sorta di "regola del gioco" arbitraria, era in realtà una questione di vita o di morte filosofica. Era l'unico antidoto contro il caos.
Perché i Greci erano così ossessionati dalla costruzione? La risposta risiede in una paura sottile e sofisticata: il terrore della contraddizione. Facciamo un esempio per chiarire: chiunque può pronunciare le parole "poliedro regolare con dieci facce". Suona bene, grammaticamente è corretto. Ma in geometria, questo oggetto è un fantasma: non esiste. In termini moderni, diremmo che è un "bug" linguistico: la definizione verbale è possibile, ma l'oggetto logico è impossibile.
Aristotele aveva avvertito del pericolo: non basta definire un concetto perché questo sia valido; bisogna assicurarsi che non contenga contraddizioni interne. Di fronte a questo rischio, i matematici greci presero una decisione drastica, quasi "sovrumana" per acutezza: rifiutarono di accettare l'esistenza di qualsiasi ente che non potesse essere costruito. Se non puoi disegnarlo passo dopo passo, non è reale.
I due guardiani: Retta e Cerchio
In questo sistema di sicurezza, riga e compasso non sono semplici strumenti da disegno, ma generatori di verità.
Il sistema assiomatico di Euclide non serviva solo a mettere ordine, ma a "certificare" quali concetti astratti potessero entrare nel mondo reale della geometria. Sebbene il punto, la retta e il piano fossero già presenti come concetti primitivi (idee intuitive che non si possono definire tramite cose più semplici), sapere cosa sono non bastava a dire che esistono.
I postulati di Euclide funzionano come un "permesso di costruzione": garantiscono che è possibile tracciare una retta tra due punti e disegnare un cerchio dato un centro e un raggio.
Il punto è l'unico ente che non ha bisogno di questo permesso: è l'atomo della geometria, l'inizio necessario di ogni azione. Ma appena ci si muove dal punto, serve una regola.
Tutto il resto — triangoli, quadrati, poligoni — doveva guadagnarsi il diritto di esistere dimostrando di poter essere assemblato usando solo quei movimenti autorizzati (tracciare rette e cerchi). Era un sistema a cascata: la retta e il cerchio esistono per postulato perchè li posso costruire, le altre figure esistono se le posso costruire a partire da queste due, quindi con il solo uso di riga e compasso.
Il prezzo della purezza
Questa ricerca di coerenza assoluta, però, ebbe un costo salatissimo trasformando tale prudenza in una gabbia.
Per essere accettata, una figura doveva essere costruibile, ma — ed è qui il dramma — l'universo matematico è molto più vasto di ciò che si può disegnare con due strumenti elementari.
Insomma, il criterio di costruibilità si rivelò una "restrizione troppo grande". Esistono lunghezze reali, problemi concreti e curve legittime che sfuggono alla riga e al compasso. Ma poiché i Greci non potevano "costruirle" secondo le loro regole ferree, queste entità venivano guardate con sospetto o relegate ai margini, considerate "meccaniche" e non degne della geometria pura.
Paradossalmente, l'ansia di proteggere la matematica dall'errore finì per proteggerla anche dal progresso. Come una sentenza inappellabile, restringendo l'orizzonte solo a ciò che era "chiaro, ordinato e costruibile", la geometria greca finì per portare in sé "i germi della propria morte1", incapace di abbracciare quella complessità che non poteva essere disegnata, ma che era nondimeno reale.
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Note e riferimenti
Kline, M. (1991), Storia del pensiero matematico, I, Dall'antichità al Settecento. Edizione italiana a cura di A.Conte. Giulio Einaudi Editore, pag 205.